метод от противного. Несчётность (0;1)

X1=0,n11n12n13…n1k… m1{0,1,…,9}\{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k… m2{0,1,…,9}\{9,n22}

……………………… ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mk{0,1,…,9}\{9,nkk}

=0,m1m2…mk… x1 x2 x3 …… xk

(0;1) Противоречие.

0<<1 R - несчётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-{0}Q+

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным Q - сч. мн.

Пусть aR, >0 {x: x-a<}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число aR, что кокого

бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

n0=n0()N: n>n0 xn-a< a=limxn , при n

(Если предел есть, то только один)

Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n, a>b, a-b=>0

n0=n0(/3):xn-a</3 и xn-b</3

=a-b=(a-xn)-(b-xn)

=(a-xn)-(b-xn) (a-xn)+(b-xn)2/3

2/3 Противоречие.

(Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: limxn=a, при n - конечный предел

Док-ть:M>0:xn<M n

limxn=a, при n:>0 n0=n0():a-<xn<a+, при n>n0

Пусть =1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или xn-a<1

Тогда xn<(xn-a)+a<xn-a+a<a+1 n>n0(1)

P=max{a1,a2,…,ano}

M=max{P,a+1}xn<M n

(Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Пусть limxn=x, при n - конечный (1 последовательность)

limyn=y, при n - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n xn<yn

=y-x>0

n=n(/3): xn-x</3 n>n

n=n(/3): yn-y</3 n>n

n0=max{n,n}, n>n0

x-/3<xn<x+/3

y-/3<yn<y+/3 xn<x+/3<y-/3<yn n>n0 xn<yn Что и т. док-ть.

Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limxn, x0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0x>x/2

limxn>x/2, при n Из Т.1. следует, что n0:n>n0 xn>x/2>0

Предположим, что limxn=x и limyn=y, при n

Если для почти всех n:xnyn, то и xy

Метод от противного. x>y по Т.1. xn>yn для почти всех n

Противоречие.

Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь limxn=limyn=a, при n, и предположим, что xnznyn n, тогда

1) Сущ. limzn, при n

2) limzn=a, при n

n=n():a-xna+, n>n

n=n():a-yna+, n>n

n0=max{n,n}

n>n0 a-xnznyna+ a-zna+ limzn=a

def {xn}-б.м. :=limxn=0, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0 xn<

def {xn}-б.б. :=limxn=, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0 xn>

Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

M>0:ynM n - значит ограничена.

>0 n0=n0(/M):n>n0 xn</M

n>n0 xnyn=xnyn/M*M= {xnyn}-б.м.

Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

{1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {xnyn}-б.б.

Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. {xn+yn}-б.м.

n=n(/2):n>n xn</2

n=n(/2):n>n yn</2

n0=max{n,n}

n>n0 xn+ynxn+yn</2+/2=

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Очивиднл.

/ F(x) называется первообразной

для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.