Метод конечных элементов

, (12)

где матрица [Λ] имеет вид

(13)

Введем матрицу жесткости стержня [km’], характеризующую связь между векторами {fm’} и {(m}

(14)

Способ получения матрицы жесткости [km’] является предметом особого рассмотрения. Конкретные примеры вычисления отдельных компонент матрицы [km’] для стержней с различными условиями закрепления узлов приводятся в курсах строительной механики. Физическая сущность процесса получения матрицы [km’] заключается в необходимости решения задач строительной механики для отдельного стержня- получения вектора усилий в концевых сечениях стержня по заданным перемещениям концов стержней (краевая задача первого рода) или получение вектора перемещений концов стержня по заданным силовым воздействиям на его концах (краевая задача второго рода). Для стержневых элементов с жесткостью, постоянной по длине, задача решается в замкнутом виде и матрица [km’] известна. Для физических элементов более общего вида – пластинчатых различного очертания, оболочечных, сложных элементов, являющихся композицией элементов, более простых, - процедура получения матрицы [km’] сводится к фактическому решению той или иной задачи строительной механики или механики сплошной среды. Как правило решить эту задачу в общем виде на удается и матрица жесткости [km’] строится численно для каждого из образующих конструкцию элементов.

В дальнейшем предполагается, что матрица [km’] известна. Для стержня, оба конца которого жестко прикреплены к узлам, она имеет вид:

(15)

где Е-модуль упругости материала стержня; S-площадь поперечного сечения; J-момент инерции сечения; I=EJ/l; l-длина стержня.

Фактический смысл компонент и блоков матрицы [km’] ясен. Блок [Kqq] и его компоненты характеризуют усилия, возникающие в сечении q стержня при смещении узла q, а блок [Kqr] и его компоненты – усилия в сечении q стержня при смещении узла r. В зависимости от ориентации систем отсчета и правила знаков при определении усилий могут изменятся знаки некоторых компонент матрицы [K’m].

Основное соотношение (15) позволяет выразить усилия в концевых сечениях каждого стержня через перемещения его концов – узлов системы. С другой стороны, усилия в концевых сечениях стержней с точностью до знака равны силам, действующим со стороны стержней на узлы, поэтому матрица [K’m] позволяет связать перемещения узлов стержневой системы с силами, с которыми стержни действуют на узлы при перемещениям последних.

Запишем систему равновесия узлов. Для узла имеем систему трех уравнений равновесия:

(16)

где суммирование распространяется на все стержни, сходящиеся в узле i, а с обозначает сечение каждого их этих стержней, бесконечно близкое к узлу. Число этих уравнений равно числу неизвестных перемещений узла. Но поскольку величины {fmc}зависят не только от перемещений указанного узла, но, в силу (14)-(15), и от перемещений соседних узлов, с которыми узел i связан хотя бы одним стержнем, то уравнение (16) для узла i входят и перемещения соседних узлов. Чтобы определить перемещения соседних узлов, системы уравнения типа (16) надо записать для всех узлов системы и решать их совместно.

Уравнение (16) удобно записывать в глобальной системе отсчета, а связь (14) установлена в локальной системе координат, связанных с отдельными стержнями.

Чтобы работать постоянно в глобальной системе координат, выразим связь (14) в глобальной системе координат с помощью соотношений (10)-(13):

. (17)

Умножим это равенство слева на [Λ]-1 и учтите при этом, что в силу ортогональности [Λ] имеет место равенство

(18)

Тогда

(19)

Выражение (19) определяет матрицу [Km] в глобальной системе координат.

Перепишем (16), используя обозначения блоков (15) матрицы

(20)

где суммирование распространяется на все стержни, соединяющиеся с узлом i. Полная система уравнений равновесия для стержневой системы с N узлами в матричной форме примет вид:

(21)

Если какой-либо узел Р на связан ни с одним стержнем с узлом r, то блок [Kpr] в матрице (21) будет тождественно равен нулю. Таком образом, умея вычислять блоки [Kqq] и [Kqr] для отдельных стержней, на основании информации о системе в целом можно построить систему уравнений равновесия (21) относительно искомых перемещений {(}. Вектор внешних сил {F} предполагается известным.

Наличие опорных закреплений приводит к тому, что некоторые компоненты вектора ( заранее известны. Соответствующие компоненты должны быть исключены из искомого вектора {(}, равно как и столбцы с теми же номерами из матрицы (21). Уравнение равновесия для закрепленных узлов не составляются, что равносильно уменьшению числа уравнений (числа строк в матрице) системы (21).